МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ |
Федеральное государственное автономное учреждение |
высшего профессионального образования |
"Казанский (Приволжский) федеральный университет" Институт физики |
УТВЕРЖДАЮ |
Проректор |
по образовательной деятельности КФУ |
Проф. Минзарипов Р.Г. |
__________________________ |
"___"______________20___ г. |
Программа дисциплины |
Линейная алгебра Б2.Б.3 |
Направление подготовки: 011200.62 - Физика |
Профиль подготовки: |
Квалификация выпускника: бакалавр |
Форма обучения: очное |
Язык обучения: русский |
Автор(ы): |
Егоров А.И. |
Рецензент(ы): |
СОГЛАСОВАНО: |
Заведующий(ая) кафедрой: Протокол заседания кафедры No ___ от "____" ___________ 201__г |
Учебно-методическая комиссия Института физики: Протокол заседания УМК No ____ от "____" ___________ 201__г |
Регистрационный No |
Казань |
2013 |
Содержание |
1. Цели освоения дисциплины |
2. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы |
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины /модуля |
4. Структура и содержание дисциплины/ модуля |
5. Образовательные технологии, включая интерактивные формы обучения |
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов |
7. Литература |
8. Интернет-ресурсы |
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины/модуля согласно утвержденному учебному плану |
Программу дисциплины разработал(а)(и) доцент, к.н. (доцент) Егоров А.И. Кафедра теории относительности и гравитации Отделение физики , Anatoly.Egorov@kpfu.ru |
1. Цели освоения дисциплины |
Целью освоения дисциплины линейная алгебра является создание у обучающихся необходимой базы знаний для последующего изучения и усвоения других дисциплин математического и естественнонаучного цикла. |
2. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы высшего профессионального образования |
Данная учебная дисциплина включена в раздел " Б2.Б.3 Общепрофессиональный" основной образовательной программы 011200.62 Физика и относится к базовой (общепрофессиональной) части. Осваивается на 1 курсе, 2 семестр. |
Дисциплина Линейная алгебра является базовой частью математического и естественнонаучного цикла дисциплин по данному направлению. Изучение данной дисциплины базируется на вузовской подготовке по дисциплинам Аналитическая геометрия и Математический анализ.Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин математического и естественнонаучного цикла (Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Векторный и |
тензорный анализ). |
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины /модуля |
В результате освоения дисциплины формируются следующие компетенции: |
Шифр компетенции | Расшифровка приобретаемой компетенции |
В результате освоения дисциплины студент: |
1. должен знать: |
теорию линейных пространтв и линейных операторов; |
теорию линейных, билинейных, квадратичных, полуторалинейных и эрмитовых форм; |
теорию самосопряженных, изометрических, унитарных и эрмитовых операторов в евклидовых и унитарных пространстве; |
2. должен уметь: |
находить собственные векторы и собственные значения линейных операторов; |
приводить квадратичные формы к каноническому виду; |
ортогонализовывать системы векторов |
ортогональными преобразованиями приводить уравнения поверхностей второго порядка к каноническому виду в E3. |
3. должен владеть: |
необходимыми навыками вычислений. |
4. Структура и содержание дисциплины/ модуля |
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных(ые) единиц(ы) 108 часа(ов). |
Форма промежуточного контроля дисциплины
экзамен во 2 семестре. |
Суммарно по дисциплине можно получить 100 баллов, из них текущая работа оценивается в 50 баллов, итоговая форма контроля - в 50 баллов. Минимальное количество для допуска к зачету 28 баллов. |
86 баллов и более - "отлично" (отл.); |
71-85 баллов - "хорошо" (хор.); |
55-70 баллов - "удовлетворительно" (удов.); |
54 балла и менее - "неудовлетворительно" (неуд.). |
4.1 Структура и содержание аудиторной работы по дисциплине/ модулю |
Тематический план дисциплины/модуля |
N | Раздел Дисциплины/ Модуля |
Семестр | Неделя семестра |
Виды и часы аудиторной работы, их трудоемкость (в часах) |
Текущие формы контроля | ||
Лекции | Практические занятия |
Лабораторные работы |
|||||
1. | Тема 1. Основные алгебраические понятия. Бинарные алгебраические опреации. Ассоциативность и коммутативность. Группоид, моноид, полугруппа, группа. Кольцо. Симметрическая группа множества. Кольцо. Типы колец (ассоциативные, коммутативные, антикоммутативные, лиевы, целостные). Тело и поле. Характеристика тела, поля. Примеры полей характеристики ноль и p. Поля Zp, Z, Q, R, C. Тело кватернионов Гамильтона H. Гомоморфизмы полей, тел и колец. Факторкольцо по двухстороннему идеалу.Отношения на множестве: отношение порядка, отношение эквивалентности. Классы эквивалентности и фактор-множество. | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
3. | Тема 3. Теория линейных пространств и линейных операторов(1). Аксиомы линейного пространства. Линейная зависимость векторов. Размерность и базис. Линейные подпространства и линейные оболочки. Пересечение подпространств. Сумма и прямая сумма подпространств. Теорема о пополнении базиса. Теорема о размерности суммы подпространств. Линейные отображения. Матрица линейного отображения. Линейное пространство линейных отображений (матриц mxn). Композиция отображений и умножение матриц. Обратный оператор и обратная матрица. Общая матричная группа степени n над полем Р. Образ и ядро линейного отображения. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Спектр оператора. Теоерма о связи геометрической и алгебраической кратности собственного значения. Переход к новому базису и инварианты линейного оператора. | 2 | 2-8 | 0 | 0 | 0 | |
5. | Тема 5. Теория линейных пространств и линейных операторов(2). Нильпотентные и циклические линейные операторы. Каноническая форма Жордана. Матрицы оператора над полем С. Теорема Гамильтона-Кэлли и минимальный многочлен оператора. Многочленные матрицы и их элементарные преобразования. Каноническая диагональная форма многочленной матрицы. Инвариантные факторы, элементарные делители, характеристика Сегре оператора. Каноническая форма Жордана матрицы оператора над полем R. Матричный многочлен от переменной. Регулярные и сингулярные многочлены. Критерий подобия матриц и теорема о необходимых и достаточных условиях подобия. | 2 | 2-8 | 0 | 0 | 0 | |
7. | Тема 7. Линейные, билинейные, квадратичные формы. Линейная форма (ковектор). Сопряженное пространство и кобазис. Дуальный (взаимный) кобазис. Билинейные формы. Матрица билинейной формы. Симметрические и кососимметрические билинейные формы. Переход к новому базису. Квадратичные формы. Теорема Лагранжа. Индексы инерции над полем R, теорема инерции. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. | 2 | 9-14 | 0 | 0 | 0 | |
8. | Тема 8. Аффинные, евклидовы и унитарные пространства. Аффинные пространства и аффинные системы координат. Собственно евклидовы и псевдоевклидовы пространства. Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы. Изометрический оператор. Самосопряженный оператор и его свойства. Связь симметричной билинейной (квадратичной ) формой с соответствующим ей сопряженным оператором. Алгоритм Грамма-Шмидта ортогонализации системы векторов в Евклидовом пространстве. Теоермао каноническом диагональном виде матрицы самосопряженного оператора. Приведение квадратичных форм к каноническому виду ортогональными преобразованиями. Приведение в Еn общего уравнения поверхностей второго порядка к каноническому виду. Невырожденные центрльные и нецентральные поверхности. Цилиндры. Поверхности второго порядка в E3. | 2 | 15-16 | 0 | 0 | 0 | |
10. | Тема 10. Комплексные линейные пространства. Унитарное пространство. Эрмитовы и эрмитово квадратичные формы. Симметричные эрмитовы и симметричные эрмитово квадратичные формы. Унитарные пространства. Ортонормированные базисы и унитарные матрицы. Унитарные и эрмитовы операторы, их свойства. Теоерма о каноническом виде матрицы эрмитова оператора. | 2 | 17-18 | 0 | 0 | 0 | |
. | Тема . Итоговая форма контроля | 2 | 0 | 0 | 0 |
экзамен |
|
Итого | 0 | 0 | 0 |
4.2 Содержание дисциплины |
Тема 1. Основные алгебраические понятия. Бинарные алгебраические опреации. Ассоциативность и коммутативность. Группоид, моноид, полугруппа, группа. Кольцо. Симметрическая группа множества. Кольцо. Типы колец (ассоциативные, коммутативные, антикоммутативные, лиевы, целостные). Тело и поле. Характеристика тела, поля. Примеры полей характеристики ноль и p. Поля Zp, Z, Q, R, C. Тело кватернионов Гамильтона H. Гомоморфизмы полей, тел и колец. Факторкольцо по двухстороннему идеалу.Отношения на множестве: отношение порядка, отношение эквивалентности. Классы эквивалентности и фактор-множество. |
Тема 3. Теория линейных пространств и линейных операторов(1). Аксиомы линейного пространства. Линейная зависимость векторов. Размерность и базис. Линейные подпространства и линейные оболочки. Пересечение подпространств. Сумма и прямая сумма подпространств. Теорема о пополнении базиса. Теорема о размерности суммы подпространств. Линейные отображения. Матрица линейного отображения. Линейное пространство линейных отображений (матриц mxn). Композиция отображений и умножение матриц. Обратный оператор и обратная матрица. Общая матричная группа степени n над полем Р. Образ и ядро линейного отображения. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Спектр оператора. Теоерма о связи геометрической и алгебраической кратности собственного значения. Переход к новому базису и инварианты линейного оператора. |
Тема 5. Теория линейных пространств и линейных операторов(2). Нильпотентные и циклические линейные операторы. Каноническая форма Жордана. Матрицы оператора над полем С. Теорема Гамильтона-Кэлли и минимальный многочлен оператора. Многочленные матрицы и их элементарные преобразования. Каноническая диагональная форма многочленной матрицы. Инвариантные факторы, элементарные делители, характеристика Сегре оператора. Каноническая форма Жордана матрицы оператора над полем R. Матричный многочлен от переменной. Регулярные и сингулярные многочлены. Критерий подобия матриц и теорема о необходимых и достаточных условиях подобия. |
Тема 7. Линейные, билинейные, квадратичные формы. Линейная форма (ковектор). Сопряженное пространство и кобазис. Дуальный (взаимный) кобазис. Билинейные формы. Матрица билинейной формы. Симметрические и кососимметрические билинейные формы. Переход к новому базису. Квадратичные формы. Теорема Лагранжа. Индексы инерции над полем R, теорема инерции. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. |
Тема 8. Аффинные, евклидовы и унитарные пространства. Аффинные пространства и аффинные системы координат. Собственно евклидовы и псевдоевклидовы пространства. Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы. Изометрический оператор. Самосопряженный оператор и его свойства. Связь симметричной билинейной (квадратичной ) формой с соответствующим ей сопряженным оператором. Алгоритм Грамма-Шмидта ортогонализации системы векторов в Евклидовом пространстве. Теоермао каноническом диагональном виде матрицы самосопряженного оператора. Приведение квадратичных форм к каноническому виду ортогональными преобразованиями. Приведение в Еn общего уравнения поверхностей второго порядка к каноническому виду. Невырожденные центрльные и нецентральные поверхности. Цилиндры. Поверхности второго порядка в E3. |
Тема 10. Комплексные линейные пространства. Унитарное пространство. Эрмитовы и эрмитово квадратичные формы. Симметричные эрмитовы и симметричные эрмитово квадратичные формы. Унитарные пространства. Ортонормированные базисы и унитарные матрицы. Унитарные и эрмитовы операторы, их свойства. Теоерма о каноническом виде матрицы эрмитова оператора. |
4.3 Структура и содержание самостоятельной работы дисциплины (модуля) |
Итого | 0 |
5. Образовательные технологии, включая интерактивные формы обучения |
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов |
Тема 1. Основные алгебраические понятия. Бинарные алгебраические опреации. Ассоциативность и коммутативность. Группоид, моноид, полугруппа, группа. Кольцо. Симметрическая группа множества. Кольцо. Типы колец (ассоциативные, коммутативные, антикоммутативные, лиевы, целостные). Тело и поле. Характеристика тела, поля. Примеры полей характеристики ноль и p. Поля Zp, Z, Q, R, C. Тело кватернионов Гамильтона H. Гомоморфизмы полей, тел и колец. Факторкольцо по двухстороннему идеалу.Отношения на множестве: отношение порядка, отношение эквивалентности. Классы эквивалентности и фактор-множество. |
Тема 3. Теория линейных пространств и линейных операторов(1). Аксиомы линейного пространства. Линейная зависимость векторов. Размерность и базис. Линейные подпространства и линейные оболочки. Пересечение подпространств. Сумма и прямая сумма подпространств. Теорема о пополнении базиса. Теорема о размерности суммы подпространств. Линейные отображения. Матрица линейного отображения. Линейное пространство линейных отображений (матриц mxn). Композиция отображений и умножение матриц. Обратный оператор и обратная матрица. Общая матричная группа степени n над полем Р. Образ и ядро линейного отображения. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Спектр оператора. Теоерма о связи геометрической и алгебраической кратности собственного значения. Переход к новому базису и инварианты линейного оператора. |
Тема 5. Теория линейных пространств и линейных операторов(2). Нильпотентные и циклические линейные операторы. Каноническая форма Жордана. Матрицы оператора над полем С. Теорема Гамильтона-Кэлли и минимальный многочлен оператора. Многочленные матрицы и их элементарные преобразования. Каноническая диагональная форма многочленной матрицы. Инвариантные факторы, элементарные делители, характеристика Сегре оператора. Каноническая форма Жордана матрицы оператора над полем R. Матричный многочлен от переменной. Регулярные и сингулярные многочлены. Критерий подобия матриц и теорема о необходимых и достаточных условиях подобия. |
Тема 7. Линейные, билинейные, квадратичные формы. Линейная форма (ковектор). Сопряженное пространство и кобазис. Дуальный (взаимный) кобазис. Билинейные формы. Матрица билинейной формы. Симметрические и кососимметрические билинейные формы. Переход к новому базису. Квадратичные формы. Теорема Лагранжа. Индексы инерции над полем R, теорема инерции. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. |
Тема 8. Аффинные, евклидовы и унитарные пространства. Аффинные пространства и аффинные системы координат. Собственно евклидовы и псевдоевклидовы пространства. Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы. Изометрический оператор. Самосопряженный оператор и его свойства. Связь симметричной билинейной (квадратичной ) формой с соответствующим ей сопряженным оператором. Алгоритм Грамма-Шмидта ортогонализации системы векторов в Евклидовом пространстве. Теоермао каноническом диагональном виде матрицы самосопряженного оператора. Приведение квадратичных форм к каноническому виду ортогональными преобразованиями. Приведение в Еn общего уравнения поверхностей второго порядка к каноническому виду. Невырожденные центрльные и нецентральные поверхности. Цилиндры. Поверхности второго порядка в E3. |
Тема 10. Комплексные линейные пространства. Унитарное пространство. Эрмитовы и эрмитово квадратичные формы. Симметричные эрмитовы и симметричные эрмитово квадратичные формы. Унитарные пространства. Ортонормированные базисы и унитарные матрицы. Унитарные и эрмитовы операторы, их свойства. Теоерма о каноническом виде матрицы эрмитова оператора. |
Тема . Итоговая форма контроля |
Примерные вопросы к экзамену: |
Контрольная работа |
Защита рефератов на темы: |
1) Итеррационные методы решения линейных систем и задач на собственные значения; |
2) элементы теории групп; |
3) Пары форм, приведение к каноническому виду; |
4) Форма Жордана матрицы линейного оператора; |
7.1. Основная литература: |
1. Кайгородов В.Р. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. ― Казань: Изд-во Казанского университета, 1985. |
2. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Москва; Физматлит, 2000. |
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. Москва: Физматлит, 2006. |
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре, Москва: Лаб. базовых знаний, 2006. |
7.2. Дополнительная литература: |
1. Мальцев, А.И. Основы линейной алгебры. Москва: Наука, 2006. |
2. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Москва.: Физматлит, 2000. |
3. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры. Санкт-Петербург: Лань: Физматкнига, 2007. |
4. Билялов Р.Ф., Подольский В.Г. Практические занятия по аналитической геометрии и линейной алгебре на физическом факультете КГУ. Казань, 1998. 64 с. |
7.3. Интернет-ресурсы: |
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины/модуля согласно утвержденному учебному плану |
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО и учебным планом по направлению 011200.62 "Физика" . |
Автор(ы): |
Егоров А.И. ____________________ |
"__" _________ 201 __ г. |
Рецензент(ы): |
"__" _________ 201 __ г. |
Лист согласования |