МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ |
Федеральное государственное автономное учреждение |
высшего профессионального образования |
"Казанский (Приволжский) федеральный университет" Институт физики |
УТВЕРЖДАЮ |
Проректор |
по образовательной деятельности КФУ |
Проф. Минзарипов Р.Г. |
__________________________ |
"___"______________20___ г. |
Программа дисциплины |
Математический анализ Б2.Б.1 |
Направление подготовки: 222900.62 - Нанотехнологии и микросистемная техника |
Профиль подготовки: |
Квалификация выпускника: бакалавр |
Форма обучения: очное |
Язык обучения: русский |
Автор(ы): |
Даньшин А.Ю. |
Рецензент(ы): |
СОГЛАСОВАНО: |
Заведующий(ая) кафедрой: Протокол заседания кафедры No ___ от "____" ___________ 201__г |
Учебно-методическая комиссия Института физики: Протокол заседания УМК No ____ от "____" ___________ 201__г |
Регистрационный No |
Казань |
2013 |
Содержание |
1. Цели освоения дисциплины |
2. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы |
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины /модуля |
4. Структура и содержание дисциплины/ модуля |
5. Образовательные технологии, включая интерактивные формы обучения |
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов |
7. Литература |
8. Интернет-ресурсы |
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины/модуля согласно утвержденному учебному плану |
Программу дисциплины разработал(а)(и) доцент, к.н. Даньшин А.Ю. Кафедра теории относительности и гравитации Отделение физики , Alexander.Danshin@kpfu.ru |
1. Цели освоения дисциплины |
Целью освоения дисциплины "Математический анализ" является изучение теоретических основ дифференциального и интегрального исчисления. Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и современными математическими методами исследования, которые могут применяться в его области. Для этого необходимо, прежде всего, иметь необходимые знания, уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, в частности, методами математического анализа, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели. |
2. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы высшего профессионального образования |
Данная учебная дисциплина включена в раздел " Б2.Б.1 Общепрофессиональный" основной образовательной программы 222900.62 Нанотехнологии и микросистемная техника и относится к базовой (общепрофессиональной) части. Осваивается на 1, 2 курсах, 1, 2, 3 семестры. |
Дисциплина находится в программе 1-го, 2-го и 3-го семестров по профилю подготовки Б2. Математический и естественно-научный цикл, шифр Б.2.Б1. Для освоения дисциплины необходимы хорошие знания алгебры и геометрии в объеме средней школы. Дисциплина является одной из основных, необходима для изучения всех физических курсов и для успешной профессиональной деятельности. |
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины /модуля |
В результате освоения дисциплины формируются следующие компетенции: |
Шифр компетенции | Расшифровка приобретаемой компетенции |
В результате освоения дисциплины студент: |
1. должен знать: |
теоретические основы математического анализа |
2. должен уметь: |
использовать знание теоретических основ математического анализа при анализе различных функций, использовать теоретические понятия и практические методы при решении задач, возникающих в различных физических курсах |
3. должен владеть: |
основными понятиями теории функций одной и многих переменных, методами дифференцирования и интегрирования функций, приемами работы с рядами и интегралами от функций многих переменных |
4. Структура и содержание дисциплины/ модуля |
Общая трудоемкость дисциплины составляет 10 зачетных(ые) единиц(ы) 360 часа(ов). |
Форма промежуточного контроля дисциплины
зачет в 1 семестре; экзамен во 2 семестре; экзамен в 3 семестре. |
Суммарно по дисциплине можно получить 100 баллов, из них текущая работа оценивается в 50 баллов, итоговая форма контроля - в 50 баллов. Минимальное количество для допуска к зачету 28 баллов. |
86 баллов и более - "отлично" (отл.); |
71-85 баллов - "хорошо" (хор.); |
55-70 баллов - "удовлетворительно" (удов.); |
54 балла и менее - "неудовлетворительно" (неуд.). |
4.1 Структура и содержание аудиторной работы по дисциплине/ модулю |
Тематический план дисциплины/модуля |
N | Раздел Дисциплины/ Модуля |
Семестр | Неделя семестра |
Виды и часы аудиторной работы, их трудоемкость (в часах) |
Текущие формы контроля | ||
Лекции | Практические занятия |
Лабораторные работы |
|||||
1. | Тема 1. Элементы теории множеств. Операции над множествами и их свойства. Подмножества. Отображения множеств. Инъекция, сюръекция, биекция. Композиция отображений. Числовые множества. Метод математической индукции. Комплексные числа. Верхние и нижние грани числовых множеств. | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
2. | Тема 2. Теория пределов. Числовые последовательности. Сходящиеся последовательности. Бесконечно малые (большие) последовательности. Основные теоремы о пределах последовательностей. Число e. Монотонные последовательности. Подпоследовательности. Предельные точки последовательности. Критерий Коши. | 1 | 0 | 0 | 0 | ||
3. | Тема 3. Понятие функции. Предельное значение функции. Непрерывность. Понятие функции. Понятие предельного значения функции. Понятие непрерывности функции. Классификация бесконечно-малых функций. Непрерывность элементарных функций.Замечательные пределы. Классификация точек разрыва. Понятие равномерной непрерывности функций. Верхняя и нижняя грани функции. Основные теоремы о непрерывных функциях на сегменте. | 1 | 0 | 0 | 0 | ||
4. | Тема 4. Производная и дифференциал функции. Определение производной. Основные правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Дифференциал. Производные,дифференциалы высших порядков. Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Ферма,Ролля,Лагранжа,Коши). Правила раскрытия неопределенностей. Формула Тейлора. Различные виды остаточного члена в формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора в приближенных вычислениях. | 1 | 0 | 0 | 0 | ||
5. | Тема 5. Применение дифференциального исчисления к исследованию поведения функции и построению графиков. (Признак монотонности функции. Возрастание и убывание функции. Экстремум. Направление выпуклости, точки перегиба. Асимптоты. Построение графика). Приближенное решение уравнений методом "вилки", методом итераций, методом "хорд" и "касательных". Оценки скорости сходимости этих методов. | 1 | 0 | 0 | 0 | ||
6. | Тема 6. Неопределенный интеграл. Неопределенный интеграл. Основные методы и формулы интегрирования. Алгебра многочленов. Разложения рациональной дроби на простейшие. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональностей. Интегрирование дифференциального бинома. Интегрирование некоторых тригонометрических и гиперболических выражений. | 1 | 0 | 0 | 0 | ||
7. | Тема 7. Определенный интеграл. Понятие определенного интеграла. Суммы Дарбу и их свойства. Существование определенного интеграла для непрерывных и кусочно-непрерывных функций. Свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Формулы среднего значения. Связь с неопределенным интегралом. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрические и физические приложения. Приближенное вычисление и оценка погрешностей. | 2 | 0 | 0 | 0 | ||
8. | Тема 8. Функции нескольких переменных. Понятие функции нескольких переменных. Предельное значение функции. Непрерывность. Частные производные. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Дифференцируемость сложной функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Производная по направлению. Градиент. Неявные функции. Зависимость функций. Условный экстремум. Замена переменных. | 2 | 0 | 0 | 0 | ||
9. | Тема 9. Теория рядов Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Критерий равномерной сходимости. Теоремы о равномерно сходящихся рядах. Степенные ряды. Теорема Абеля. Разложение функций в степенные ряды. | 2 | 0 | 0 | 0 | ||
10. | Тема 10. Ряды Фурье. Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье по ортогональной системе элементов евклидова пространства. Неравенство Бесселя. Полные и замкнутые системы. Полнота и замкнутость тригонометрической системы. Сходимость и равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье. Влияние гладкости функции на порядок ее коэффициентов Фурье. Почленное дифференцирование ряда Фурье. Комплексная форма ряда Фурье. Понятие обобщенной функции. | 2 | 0 | 0 | 0 | ||
11. | Тема 11. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Несобственные интегралы и признаки сходимости. Интеграл Фурье и его комплексная форма. Интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра. Непрерывность интегралов, зависящих от параметра. Эйлеровы интегралы. | 3 | 0 | 0 | 0 | ||
12. | Тема 12. Двойные и n -- кратные интегралы. Двойной интеграл и его основные свойства. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных. Геометрические и физические приложения. Тройные и n -- кратные интегралы. Их свойства и способы вычислений. Приближенное вычисление кратных интегралов. Понятие несобственных кратных интегралов. | 3 | 0 | 0 | 0 | ||
13. | Тема 13. Криволинейные интегралы. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го родов. Сведение криволинейных интегралов к обыкновенным. Основные свойства, приложения. Формула Грина. | 3 | 0 | 0 | 0 | ||
14. | Тема 14. Поверхностные интегралы. Задание поверхности с помощью векторных функций. Односторонние и двусторонние поверхности. Понятие площади поверхности. Понятие поверхностных интегралов 1-го и 2-го родов. Вычисление поверхностных интегралов, их приложения. Формулы Остроградского и Стокса и их приложения. | 3 | 0 | 0 | 0 | ||
. | Тема . Итоговая форма контроля | 1 | 0 | 0 | 0 |
зачет |
|
. | Тема . Итоговая форма контроля | 2 | 0 | 0 | 0 |
экзамен |
|
. | Тема . Итоговая форма контроля | 3 | 0 | 0 | 0 |
экзамен |
|
Итого | 0 | 0 | 0 |
4.2 Содержание дисциплины |
Тема 1. Элементы теории множеств. Операции над множествами и их свойства. Подмножества. Отображения множеств. Инъекция, сюръекция, биекция. Композиция отображений. Числовые множества. Метод математической индукции. Комплексные числа. Верхние и нижние грани числовых множеств. |
Тема 2. Теория пределов. Числовые последовательности. Сходящиеся последовательности. Бесконечно малые (большие) последовательности. Основные теоремы о пределах последовательностей. Число e. Монотонные последовательности. Подпоследовательности. Предельные точки последовательности. Критерий Коши. |
Тема 3. Понятие функции. Предельное значение функции. Непрерывность. Понятие функции. Понятие предельного значения функции. Понятие непрерывности функции. Классификация бесконечно-малых функций. Непрерывность элементарных функций.Замечательные пределы. Классификация точек разрыва. Понятие равномерной непрерывности функций. Верхняя и нижняя грани функции. Основные теоремы о непрерывных функциях на сегменте. |
Тема 4. Производная и дифференциал функции. Определение производной. Основные правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Дифференциал. Производные,дифференциалы высших порядков. Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Ферма,Ролля,Лагранжа,Коши). Правила раскрытия неопределенностей. Формула Тейлора. Различные виды остаточного члена в формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора в приближенных вычислениях. |
Тема 5. Применение дифференциального исчисления к исследованию поведения функции и построению графиков. (Признак монотонности функции. Возрастание и убывание функции. Экстремум. Направление выпуклости, точки перегиба. Асимптоты. Построение графика). Приближенное решение уравнений методом "вилки", методом итераций, методом "хорд" и "касательных". Оценки скорости сходимости этих методов. |
Тема 6. Неопределенный интеграл. Неопределенный интеграл. Основные методы и формулы интегрирования. Алгебра многочленов. Разложения рациональной дроби на простейшие. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональностей. Интегрирование дифференциального бинома. Интегрирование некоторых тригонометрических и гиперболических выражений. |
Тема 7. Определенный интеграл. Понятие определенного интеграла. Суммы Дарбу и их свойства. Существование определенного интеграла для непрерывных и кусочно-непрерывных функций. Свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Формулы среднего значения. Связь с неопределенным интегралом. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрические и физические приложения. Приближенное вычисление и оценка погрешностей. |
Тема 8. Функции нескольких переменных. Понятие функции нескольких переменных. Предельное значение функции. Непрерывность. Частные производные. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Дифференцируемость сложной функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Производная по направлению. Градиент. Неявные функции. Зависимость функций. Условный экстремум. Замена переменных. |
Тема 9. Теория рядов Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Критерий равномерной сходимости. Теоремы о равномерно сходящихся рядах. Степенные ряды. Теорема Абеля. Разложение функций в степенные ряды. |
Тема 10. Ряды Фурье. Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье по ортогональной системе элементов евклидова пространства. Неравенство Бесселя. Полные и замкнутые системы. Полнота и замкнутость тригонометрической системы. Сходимость и равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье. Влияние гладкости функции на порядок ее коэффициентов Фурье. Почленное дифференцирование ряда Фурье. Комплексная форма ряда Фурье. Понятие обобщенной функции. |
Тема 11. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Несобственные интегралы и признаки сходимости. Интеграл Фурье и его комплексная форма. Интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра. Непрерывность интегралов, зависящих от параметра. Эйлеровы интегралы. |
Тема 12. Двойные и n -- кратные интегралы. Двойной интеграл и его основные свойства. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных. Геометрические и физические приложения. Тройные и n -- кратные интегралы. Их свойства и способы вычислений. Приближенное вычисление кратных интегралов. Понятие несобственных кратных интегралов. |
Тема 13. Криволинейные интегралы. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го родов. Сведение криволинейных интегралов к обыкновенным. Основные свойства, приложения. Формула Грина. |
Тема 14. Поверхностные интегралы. Задание поверхности с помощью векторных функций. Односторонние и двусторонние поверхности. Понятие площади поверхности. Понятие поверхностных интегралов 1-го и 2-го родов. Вычисление поверхностных интегралов, их приложения. Формулы Остроградского и Стокса и их приложения. |
4.3 Структура и содержание самостоятельной работы дисциплины (модуля) |
Итого | 0 |
5. Образовательные технологии, включая интерактивные формы обучения |
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов |
7.1. Основная литература: |
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-3, М.,1970. |
2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М. , 2004. |
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч.1,2. |
4. Будак Б.М., Фомин Кратные интегралы и ряды. М., 1967. |
5. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ.Т.1, М.,1973, Т.2,М.,1970. |
6. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 1-3, М., 1974. |
7. Никольский С. М. Курс математического анализа, Т.1-2, М., 1973. |
8. Анчиков А.М., Валиуллин Р.Л., Даишев Р.А. Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Изд-во Казан. гос. ун-та, Казань, 2006. |
7.2. Дополнительная литература: |
1. Анчиков А.М. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметров. Изд-во Казан. гос. ун-та, Казань, 1998. |
2. Анчиков А.М. Ряды (Учебно-методическое пособие) Изд-во Казан. гос. ун-та, Казань, 2003. |
7.3. Интернет-ресурсы: |
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины/модуля согласно утвержденному учебному плану |
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО и учебным планом по направлению 222900.62 "Нанотехнологии и микросистемная техника" . |
Автор(ы): |
Даньшин А.Ю. ____________________ |
"__" _________ 201 __ г. |
Рецензент(ы): |
"__" _________ 201 __ г. |
Лист согласования |