4.2 Содержание дисциплины
|
Тема 1. Непрерывные группы преобразований и алгебры Ли. Инфинитезимальный оператор группы. Представление группы с помощью экспоненциального отображения. Инварианты группы и инвариантные многообразия. Дефект инвариантности многообразия относительно группы.
|
лекционное занятие (2 часа(ов)):
|
Непрерывные группы преобразований и алгебры Ли. Инфинитезимальный оператор группы. Представление группы с помощью экспоненциального отображения. Инварианты группы и инвариантные многообразия. Дефект инвариантности многообразия относительно группы.
|
практическое занятие (3 часа(ов)):
|
Непрерывные группы преобразований и алгебры Ли. Инфинитезимальный оператор группы. Представление группы с помощью экспоненциального отображения. Инварианты группы и инвариантные многообразия. Дефект инвариантности многообразия относительно группы.
|
Тема 2. Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями. Определяющие уравнения группы. Обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие группу. Интегрирующий множитель и замена переменных в дифференциальных уравнениях первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка.
|
лекционное занятие (3 часа(ов)):
|
Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями. Определяющие уравнения группы. Обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие группу. Интегрирующий множитель и замена переменных в дифференциальных уравнениях первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка.
|
практическое занятие (3 часа(ов)):
|
Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями. Определяющие уравнения группы. Обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие группу. Интегрирующий множитель и замена переменных в дифференциальных уравнениях первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка.
|
Тема 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения, обладающие фундаментальной системой решений. Группы на прямой и уравнения Риккати. Некоторые уравнения математической физики, обладающие группой симметрии.
|
лекционное занятие (3 часа(ов)):
|
Обыкновенные дифференциальные уравнения, обладающие фундаментальной системой решений. Группы на прямой и уравнения Риккати. Некоторые уравнения математической физики, обладающие группой симметрии.
|
практическое занятие (3 часа(ов)):
|
Обыкновенные дифференциальные уравнения, обладающие фундаментальной системой решений. Группы на прямой и уравнения Риккати. Некоторые уравнения математической физики, обладающие группой симметрии.
|
Тема 4. Обобщённые движения в римановых пространствах. Непрерывные группы преобразований в римановых пространствах. Преобразования, сохраняющие гармонические координаты. Группы обобщённых движений. Группа конформных преобразований и группа преобразований риманова пространства с дефектом инвариантности равным двум.
|
лекционное занятие (2 часа(ов)):
|
Обобщённые движения в римановых пространствах. Непрерывные группы преобразований в римановых пространствах. Преобразования, сохраняющие гармонические координаты. Группы обобщённых движений. Группа конформных преобразований и группа преобразований риманова пространства с дефектом инвариантности равным двум.
|
практическое занятие (3 часа(ов)):
|
Обобщённые движения в римановых пространствах. Непрерывные группы преобразований в римановых пространствах. Преобразования, сохраняющие гармонические координаты. Группы обобщённых движений. Группа конформных преобразований и группа преобразований риманова пространства с дефектом инвариантности равным двум.
|
Тема 5. Групповые свойства дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Определяющие уравнения. Уравнения, допускающие группу максимального порядка: линейные уравнения. Нелинейные уравнения (случай группы максимального порядка). Свойства конформно-инвариантного уравнения.
|
лекционное занятие (2 часа(ов)):
|
Групповые свойства дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Определяющие уравнения. Уравнения, допускающие группу максимального порядка: линейные уравнения. Нелинейные уравнения (случай группы максимального порядка). Свойства конформно-инвариантного уравнения.
|
практическое занятие (2 часа(ов)):
|
Групповые свойства дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Определяющие уравнения. Уравнения, допускающие группу максимального порядка: линейные уравнения. Нелинейные уравнения (случай группы максимального порядка). Свойства конформно-инвариантного уравнения.
|
Тема 6. Инвариантные вариационные задачи и законы сохранения для дифференциальных уравнений, допускающих непрерывную группу преобразований. Теорема Нёттер. Законы сохранения классической механики. Движение частицы в пространствах постоянной кривизны. Нелинейное волновое уравнение. Уравнение околозвукового течения газа. Уравнение Дирака.
|
лекционное занятие (1 часа(ов)):
|
Инвариантные вариационные задачи и законы сохранения для дифференциальных уравнений, допускающих непрерывную группу преобразований. Теорема Нёттер. Законы сохранения классической механики. Движение частицы в пространствах постоянной кривизны. Нелинейное волновое уравнение. Уравнение околозвукового течения газа. Уравнение Дирака.
|
практическое занятие (1 часа(ов)):
|
Инвариантные вариационные задачи и законы сохранения для дифференциальных уравнений, допускающих непрерывную группу преобразований. Теорема Нёттер. Законы сохранения классической механики. Движение частицы в пространствах постоянной кривизны. Нелинейное волновое уравнение. Уравнение околозвукового течения газа. Уравнение Дирака.
|
Тема 7. Принцип Гюйгенса. Геодезические расстояния. Конформная инвариантность и принцип Гюйгенса. Решение задачи Коши. Исследование уравнения допускающего тривиальную конформную группу.
|
лекционное занятие (2 часа(ов)):
|
Принцип Гюйгенса. Геодезические расстояния. Конформная инвариантность и принцип Гюйгенса. Решение задачи Коши. Исследование уравнения допускающего тривиальную конформную группу.
|
|
4.3 Структура и содержание самостоятельной работы дисциплины (модуля)
|
|
|
Тема 1. Непрерывные группы преобразований и алгебры Ли. Инфинитезимальный оператор группы. Представление группы с помощью экспоненциального отображения. Инварианты группы и инвариантные многообразия. Дефект инвариантности многообразия относительно группы.
|
Тема 2. Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями. Определяющие уравнения группы. Обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие группу. Интегрирующий множитель и замена переменных в дифференциальных уравнениях первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка.
|
Тема 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения, обладающие фундаментальной системой решений. Группы на прямой и уравнения Риккати. Некоторые уравнения математической физики, обладающие группой симметрии.
|
Тема 4. Обобщённые движения в римановых пространствах. Непрерывные группы преобразований в римановых пространствах. Преобразования, сохраняющие гармонические координаты. Группы обобщённых движений. Группа конформных преобразований и группа преобразований риманова пространства с дефектом инвариантности равным двум.
|
устный опрос
, примерные вопросы: |
|
Тема 5. Групповые свойства дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Определяющие уравнения. Уравнения, допускающие группу максимального порядка: линейные уравнения. Нелинейные уравнения (случай группы максимального порядка). Свойства конформно-инвариантного уравнения.
|
Тема 6. Инвариантные вариационные задачи и законы сохранения для дифференциальных уравнений, допускающих непрерывную группу преобразований. Теорема Нёттер. Законы сохранения классической механики. Движение частицы в пространствах постоянной кривизны. Нелинейное волновое уравнение. Уравнение околозвукового течения газа. Уравнение Дирака.
|
Тема 7. Принцип Гюйгенса. Геодезические расстояния. Конформная инвариантность и принцип Гюйгенса. Решение задачи Коши. Исследование уравнения допускающего тривиальную конформную группу.
|
контрольная работа
, примерные вопросы: |
|
|
Примерные вопросы к экзамену: |
БИЛЕТЫ К ЭКЗАМЕНАМ.
|
Билет 1.
|
1. Инфинитезимальный оператор группы.
|
2. Преобразования, сохраняющие гармонические координаты
|
Билет 2.
|
1. Представление группы с помощью экспоненциального отображения.
|
2. Группы обобщённых движений. Группа конформных преобразований.
|
Билет 3.
|
1. Инварианты группы и инвариантные многообразия.
|
2. Группа преобразований риманова пространства с дефектом
|
инвариантности равным двум.
|
Билет 4.
|
1. Дефект инвариантности многообразия относительно группы.
|
2. Определяющие уравнения для дифференциальных уравнений в частных
|
производных второго порядка.
|
Билет 5.
|
1. Интегрирующий множитель и замена переменных в обыкновенных
|
дифференциальных уравнениях первого порядка.
|
2. Линейные уравнения в частных производных второго порядка,
|
допускающие группу максимального порядка.
|
Билет 6.
|
1. Группы, допускаемые обыкновенными дифференциальными уравнениями
|
второго порядка.
|
2. Нелинейные уравнения в частных производных второго порядка (случай
|
группы максимального порядка).
|
|
Билет 7.
|
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения, обладающие
|
фундаментальной системой решений.
|
2. Свойства конформно-инвариантного уравнения в частных производных
|
второго порядка.
|
|
Билет 8.
|
1. Группы на прямой и уравнения Риккати.
|
2. Теорема Нёттер.
|
|
Билет 9.
|
1. Сферически-симметрические решения уравнения Лапласа.
|
2. Законы сохранения классической механики.
|
Билет 10.
|
1. Тепловое представление группы Галилея.
|
2. Нелинейное волновое уравнение.
|
Билет 11.
|
1. Движения в римановых пространствах. Уравнения Киллинга.
|
2. Уравнение околозвукового течения газа.
|
Билет 12.
|
1. Группа конформных преобразований и обобщенные уравнения Киллинга.
|
2. Принцип Гюйгенса.
|
Билет 13.
|
1. Инварианты группы и инвариантные многообразия.
|
2. Конформная инвариантность и принцип Гюйгенса.
|
Билет 14.
|
1. Определяющие уравнения группы для обыкновенных дифференциальных
|
уравнений первого и второго порядка.
|
2. Решение задачи Коши.
|
Билет 15.
|
1. Интегрирующий множитель и замена переменных в дифференциальных
|
уравнениях первого порядка
|
2. Исследование линейного дифференциального уравнения в частных
|
производных второго порядка, допускающего тривиальную конформную
|
группу.
|